3X+1问题
从任意一个正整数X开始，重复对其进行下面的操作：如果这个数是偶数，把它除以2；如果这个数是奇数，则把它扩大到原来的3倍后再加1。你会发现，序列最终总会变成4，2，1，4，2，1，……的循环。
例如，所选的数是67，根据上面的规则可以依次得到：67，202，101，304，152，76，38，19，58，29，88，44，22，11，34，17，52，26，13，40，20，10，5，16，8，4，2，1，4，2，1，……
数学家们试了很多数，没有一个能逃脱“421 陷阱”。但是，是否对于所有的数，序列最终总会变成 4，2，1 循环呢？
这个问题可以说是一个“坑”——乍看之下，问题非常简单，突破口很多，于是数学家们纷纷往里面跳；殊不知进去容易出去难，不少数学家到死都没把这个问题搞出来。
已经中招的数学家不计其数，这可以从3X + 1问题的各种别名看出来：3X + 1问题又叫 Collatz 猜想、Syracuse问题、Kakutani问题、Hasse算法、Ulam问题，等等。
后来，由于命名争议太大，干脆直接叫作3X + 1问题了。
直到现在，数学家们仍然没有证明，这个规律对于所有的数都成立。
一个小魔术
在一张纸上并排画11个小方格，叫你的好朋友背对着你（让你看不到他在纸上写什么），在前两个方格中随便填两个1到10之间的数。从第3个方格开始，在每个方格里填入前两个方格里的数之和。让你的朋友一直算出第10个方格里的数。假如你的朋友一开始填入方格的数是7和3，那么前10个方格里的数分别是：7、3、10、13、23、36、59、95、154、249。
现在，叫你的朋友报出第10个方格里的数，稍作计算你便能猜出第11个方格里的数应该是多少。你的朋友会非常惊奇地发现，把第11个方格里的数计算出来，所得的结果与你的预测一模一样！
其实，仅凭借第10个数来推测第11个数的方法非常简单，你需要做的仅仅是把第10个数乘以1.618，得到的乘积就是第11个数了。
在上面的例子中，由于249×1.618=402.882≈403，因此你可以胸有成竹地断定，第11个数就是403。而事实上，154与249相加真的就等于403。不管最初的两个数是什么，按照这种方式加下去，相邻的两数之比总会越来越趋近于1.618，这个数正是传说中的“黄金分割”。
利用组合数学中的“生成函数”，可以完美地解释这些现象产生的原因。